更多惊喜关注微信公众号【最强考研】 考研人的精神家园！2020 考研数学强化课程高等数学内部辅导讲义2020考研数学强化课程高等数学主讲老师：张同斌第一讲 函数 极限 连续 【考点分析】 1. 求极限或已知极限确定原式中的参数。 2. 无穷小的比较。 3．讨论函数的连续性，判断间断点的类型。 4．如何求渐近线。 5. 与零点定理、介值定理相关的证明问题，方程根的个数的讨论。 【例题分析】tan2xxf (x)2f (x)1．如果则lim32, lim 2( )x0 xx0 x2255（A）（B）（C）（D）3333[sinxsin(sinx)]sin(sinx)2．求极限lim.4x0arcsin x1 1 lnxlim x 1 .3．求极限求 x  x  1更多惊喜关注微信公众号【最强考研】 考研人的精神家园！2020 考研数学强化课程高等数学内部辅导讲义x  2  1t  t e 1 t dt1      4．（练习）求极限lim  .x2  1x ln 1 x x20 ln(1t )dt 5．已知函数设lim F(x) limF(x) 0,试求 的取值范围.F(x),xx 0x2axbx cx x xln(1 ) sin 6．已知极限lim31,求abc, , 的值.x0xsinx xx ee  1 sin 1 7．求极限lim.x3 12x0 e (1cosx)ln(12x )1f x lncosxf (x)( )  8．设lim 12, 求lim,其中f (x)是连续函数.x3x04 1x0 x 2更多惊喜关注微信公众号【最强考研】 考研人的精神家园！2020 考研数学强化课程高等数学内部辅导讲义2x2f x t t0 ()df x( )f (0) 0,f (0) 0,lim. 9．设函数连续,求极限1x0 x30 f (xt)dtx0 xtedtt 10．求极限lim.x0+3x3 ln(1ax ) ,x  0, xarcsinx 11．（练习）（2003（2）—10变形）设问 为何值时,f xxa( ) 6,0, ax 2  ex ax 1,x  0.2x 1 cos2lim ( )f x（Ⅰ）存在；x0f (x )x 0（Ⅱ） 在点处连续；x 0 f (x )（Ⅲ） 是的可去间断点.3更多惊喜关注微信公众号【最强考研】 考研人的精神家园！2020 考研数学强化课程高等数学内部辅导讲义12.设数列 满足{ }xn0 x ,xsinx (n 1,2,).1n1n（Ⅰ）证明limx 存在，并求该极限；nn12xx  nlim n 1.（Ⅱ）计算 n x n 18113.设x 6,x3x 高等数学考研辅导课高等数学考研辅导课，证明：数列 收敛，并求limx ．0n1  n{x }n3n4xnn 2xxx14.(练习)把当x  0 时的无穷小量23 排列 0 cost d,t  0 tan td,t0 sint dt 起来,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是()  , ,  , , , ,  ,,（A）（B）（C）（D）1x 115.已知函数f x ,记a lim f x .  sinx xx0a（I）求 的值；x 0f x a xk（II）若当时,与 是同阶无穷小,求常数 的值. k4更多惊喜关注微信公众号【最强考研】 考研人的精神家园！2020 考研数学强化课程高等数学内部辅导讲义x 16.设x 且求极限limu.f (x) e , 0 f ()dt t xf (ux),x01  17.已知实数 满足x,求 .ab,lim (axb)e  x 2ab,x 2 18. lim x lnarctan(x 1) lnarctanx _______.xx  01 cosx cos2x cos3xn 19.当时,与 为等价无穷小量,求 的值.axna, 111  20.(练习)limn2  22   22  _______.n1 n2 nn n 1 21.曲线yln 1ex 的渐近线的条数为()x12（A）（B）（C）（D）0321x x( )1 22.函数f x2 2 的无穷间断点的个数为()x 1x12（A）（B）（C）（D）035更多惊喜关注微信公众号【最强考研】 考研人的精神家园！2020 考研数学强化课程高等数学内部辅导讲义x, x 1, b x  0,23.设若在内连续,则f (x) g(x) f (x) g(x) (,)( )a, x 1,x 2, x  0,a 1,b2a 1,b 2（A）（B）a 1,b 2a 1,b 2（C）（D）f (x ) (0,5)24. 设 函 数在 0,5上 连 续 ， 在内 二 阶 可 导 ， 且3证明在内至少存在一点 使得  3f (0) 0 f (x)dx f (3)f (4)f (5),(0,5),f () 0.n n1 1 25.(I)证明方程x x x 1(n  1为整数)在区间 ,1 内有且仅有一个实根; 2 xlimx（II）记（I）中的实根为 ,证明存在,并求此极限.nnn6更多惊喜关注微信公众号【最强考研】 考研人的精神家园！2020 考研数学强化课程高等数学内部辅导讲义 【例题参考答案】111551.(B)； 2. ； 3. ； 4. ； 5. 1  3;6.ea 1,b,c  ;62331227.  e; 8. ln 2;9. 1;10. ;123111.(I) a1或(Ⅱ)(Ⅲ)12.（Ⅰ） （Ⅱ） 6a2;a1;a2;0;e ;131;1;;a 1,b 1;13. ；14.(B)； 15.(I) (Ⅱ)16.17.2218. ;19. n 2,a 7;20. ;21.(D); 22.(B)；23.(D)；4124.提示:利用介值定理与罗尔定理证明；25.（Ⅰ）提示:利用零点定理；（Ⅱ） .27更多惊喜关注微信公众号【最强考研】 考研人的精神家园！2020 考研数学强化课程高等数学内部辅导讲义第二讲 一元函数微分学——导数与微分 【考点分析】 1. 导数与微分的概念.（1）利用导数的几何意义，求曲线在某点处的切线与法线方程；（2）与导数定义相关的题目；（3）利用导数或微分的概念求函数关系式；（4）含参数的分段函数在分段点（一阶、二阶）可导，求参数；（5）绝对值函数的可导性的讨论。

2．求各种类型函数的导数或微分（包括高阶导数），尤其是隐函数和由参数方程确定 的函数求导. 【例题分析】1.设函数x2xnx其中 为正整数高等数学考研辅导课高等数学考研辅导课，则 f (x) e 1 e 2  e n ,nf (0) ( ) (A) n（B) n1(C) n(D) n1(1) (n1)!(1) (n1)!(1) n!(1) n!23x f x( ) f2 x( ) f (x )f (0) 0, lim( )2.已知函数在x 0处可导,且则等于3x0x2f (0) f(0)f(0)0(A)（B)(C)(D)f (x )x 02 f (x )3. 设函数在点的某一邻域内有定义,且|f (x )| sin x, 则在点 x 0 ()(A)不连续（B)连续但不可导(C)可导但f (0) 0(D)可导且f (0) 04．设函数具有二阶导数,且 x 为自变量 在点 处的增y f x ( )f (x) 0,f (x) 0,xx0 量, 与 分别为在点 处对应的增量,若则y dyf (x )x0x  0, ( )0 dy y0y  dyy  dy  0dy y  0(A)（B)(C)(D)sin(xy) ln(y x) x(0,1)5.(练习)曲线在点处的切线方程是_______________.2yd yy y x ( )| __________.6.设是由方程xye x1确定的隐函数,则 2 x 0dx8更多惊喜关注微信公众号【最强考研】 考研人的精神家园！2020 考研数学强化课程高等数学内部辅导讲义 x x(t),y y x ( )2x(t )7. (数学一、数学二)设函数由参数方程t确定,其中 是y 0 ln( 1u)dudxx2 2et0,d y 初值问题dt的解.求 2 . x|t 0 0dxx arctant, d2y8．(数学一、数学二)(练习)设3 则 2 |t 1 __________.y 3t t ,dxln[f (x)3]9．设在x 1点处连续,为周期为2的周期函数,且满足lim2,f (x )f (x )x1cos x2f (x )x  1 求曲线在点处的切线方程.10. 已 知 函 数f (x ) ( ,)x y,在有 定 义 , 且 对 任 意都 有xy求f (x) 的表达式.f (x y ) e f (y )e f (x),f (0) e,9更多惊喜关注微信公众号【最强考研】 考研人的精神家园！2020 考研数学强化课程高等数学内部辅导讲义f (x )f (x)f (x), f (x) f (x 1). f (1) 0,11.设函数具有二阶导数,并且满足且若 则()(A) f (5) f (5) f (5)（B)f (5) f (5) f (5)(C) f (5) f (5) f (5)(D) f (5) f (5) f (5) 【例题参考答案】 1.（B）； 2.（B）； 3.（D）； 4.（A）； 5. y x 1;6. 3; 7.28. 48;9. y 2(x 1); 10.1x 11.(B).(1t)(ln(1t )1);f (x) xe ;10